2.1.2 Números naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios

Números Naturales 

 

Los números naturales (o que contamos) son 1, 2, 3, 4, 5, etc. Hay infinitamente muchos números naturales. El conjunto de números naturales es algunas veces escrito como N como abreviatura.  

Los números enteros son los números naturales junto con el 0. 

Algunos libros no están de acuerdo y dicen que los números naturales incluyen el 0.         

La suma de cualesquiera dos números naturales es también un número natural (por ejemplo, 4 + 2000 = 2004), y el producto de cualesquiera dos números naturales es un número natural (4 × 2000 = 8000). Aunque esto no es verdadero para la resta y la división.     

 

Números Enteros

Los enteros son el conjunto de números reales que consiste de los números naturales, sus inversos aditivos y cero. El conjunto de enteros es algunas veces escrito como J o Z como abreviatura. La suma, producto, y diferencia de cualesquiera dos enteros también es un entero.         

Pero esto no es verdadero para la división... solo intente 1 ÷ 2.      

Números Racionales

Los números racionales son aquellos números que pueden ser expresados como una relación entre dos enteros. Por ejemplo, las fracciones 1/3 y –1111/8 ambas son números racionales. Todos los enteros están incluidos en los números racionales, ya que cualquier entero z puede ser escrito como la relación z/1. 

Todos los decimales que terminan son números racionales (ya que 8.27 puede ser escrito como 827/100.) Los decimales que tienen un patrón repetitivo después de algún punto también son racionales: por ejemplo, 0.083333333... = 1/12.          

El conjunto de números racionales es cerrado bajo las 4 operaciones básicas, esto es, dados cualesquiera dos números racionales, su suma, diferencia, producto, y cociente también es un número racional (siempre que no dividamos entre 0.)  

Números Reales

Los números reales es el conjunto de números que consiste de todos los números racionales y de todos los números irracionales. Los números reales son “todos los números” en la recta numérica. Hay infinitamente muchos números reales así como hay infinitamente muchos números en cada uno de los otros conjuntos de números. Pero, puede probarse que el infinito de los números reales es un infinito muy grande.         

El "más pequeño", o infinito contable de los enteros y racionales es algunas veces llamado 0 (alef-naught), y el infinitoincontable de los reales es llamado 1 (alef-one).     

Hay incluso infinitos "más grandes", pero debe tomar una clase de teoría de conjuntos para eso!   

Números Imaginarios o Complejos

Los números complejos son el conjunto {a + bi | a y b son números reales}, donde es la unidad imaginaria, –1.          
Los números complejos incluyen el conjunto de los números reales. Los números reales, en el sistema complejo, son escritos en la forma + 0i = a, un número real.        

Este conjunto es algunas veces escrito como C como abreviatura. El conjunto de los números complejos es importante porque para cualquier polinomio p(x) con coeficientes de números reales, todas las soluciones de p(x) = 0 estarán en C.

Operaciones con números complejos o imaginarios:

Para sumar dos números complejos, sume la parte real a la parte real y la parte imaginaria a la parte imaginaria.

 

Para restar dos números complejos, reste la parte real de la parte real y la parte imaginaria de la parte imaginaria.

Para multiplicar dos números complejos, use el método FOIL y combine los términos semejantes.

Para dividir dos números complejos, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado complejo, desarrolle y simplifique. Luego, escriba la respuesta final en la forma estándar.